Hafifah: kpk dan fpb

KPK DAN FPB

A. KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)

Sesuai dengan namanya ,yait kelipatan persekutuan terkecil (selanjutnya ditulis kpk) dari dua bilangan a dan b,atau lebih maka proses pengerjaannya seperti pada modul sebelumnya,yaitu mencari semua kelipatan dari a dan b, kemudian di identifikasi dan dikumpulkan semua kelipatan yang sama,selanjutnya dari kumpulan itu pilihlah yang terkecil.kpk dari dua bilangan a dan b ditulis dengan notasi kpk (a,b) atau (a,b) contoh;

1. Tentukan kpk (8,12)

Jawab: Tentukan kelipatan dari 8,yaitu 8,16,24,32,40,48,….

Tentukan kelipatan dari 12,yaitu 12,24,36,48,…..

Kelipatan persekutuannya adalah 24,48,72,…..

Karena yang terkecil adalah 24 maka kpk(8,12)=24

2. Tentukan (6,4)

Jawab :Kelipatan dari 6 adalah 6,12,18,24,30,36,….

Kelipatan dari 4 adalah 4,8,12,16,20,24,28,….

Kelipatan persekutuannya adalah 12,24,36,….

Jadi,(6,4)=12.

Untuk lebih meningkatkan pemahaman anda,cobalah latihan berikut

1. (15,20)=

2. (4,6,9)=

3. (2,3)+(3,4)=

4. (5,10)x(3,7)=

5. (6,8)-(4,5)=

Setalah anda kerjakan coba cocokan dengan jawaban berikut

1. kelipatan 15 adalah 15,30,45,60,75,90,…

Kelipatan 20 adalah 20,40,60,80,100,…

Jadi,(15,20)=60

2. kelipatan 4 adalah 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,….

Kelipatan 6 adalah 6,12,18,24,30,36,42,…

Kelipatan 9 adalah 9,18,27,36,45,…

Jadi,(4,6,9)=36

3. (2,3)=6

(3,4)=12

Jadi,(2,3)+(3,4)=6+12=18

4. (5,10)=10

(3,7)=21

Jadi ,(5,10)x(3,7)=10x21=210

5. (6,8)=24

(4,5)=20

Jadi ,(6,8)-(4,5)=24-20=4

1. Menentukan faktor prima suatu bilangan

Menentukan kelipatan persekutuan juga dapat dilakukan dengan menentukan faktor prima dari bilangan yang ditentukan .untuk mencari faktor prima dari suatu bilangan dapat dilakukan dengan tabel atau pohon akar.

a. dengan tabel

1) tentukan faktor prima dari 36

Penyelesaian

Faktorisasi dari 36 adalah 36= 36 18 12 9 6

1 2 3 4 6

Jadi faktor prima dari 36 adalah 2dan 3

2) tentukan faktor prima dari 140

Penyelesaian

Faktorisasi dari 140 adalah 140 = 140 70 35 28 20 14

1 2 4 5 7 10

Jadi,faktor prima dari 140 adalah 2,5,dan 7

3) tentukan faktor prima dari 74

Penyelesaian:

Faktorisasi dari 74 adalah 74= 74 37

1 2

Jadi faktor prima dari 74 adalah 2 dan 37

b. dengan pohon faktor

untuk mencari faktor prima suatu bilangan ,lebih mudah jika dilakukan dengan pohon faktor ,yaitu dengan cara membagi bilangan tersebut dengan suatu bilangan prima terkecil yang mungkin ,seterusnya sampai hasil terakhir yang didapat adalah bilangan prima.susunan pembagian-pembagian tadi diurutkan ke bawah ,sebagai berikut .

1. mencari faktor prima dari 140

140

2 70

2 25

5 7

Karena hasil akhirnya sudah bilangan prima maka pekerjaan kita selesai .jadi faktor prima dari 140 adalah 2,5,dan 7.hasil akhirnya 140=2²,5,7.

2. mencari faktor prima dari 256

256

2 128

2 64

2 32

2 16

2 8

2 4

2 2

Jadi faktor bilangan prima dari 256 adalah 2 hasil akhirnya 256 =2⁸.

3. tentukan faktor prima dari 78

Penyelsaian

2 39

2 13

Jadi.faktor prima dari 78 adalah 2,3,dan 13,hasil akhirnya 78=2,3,13

3.tentukan faktor prima dari 99

3 33

3 11

Jadi,faktor prima dari 99 adalah 3 dan 11 ,hasil akhirnya 99 = 3².11

B. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)

Sama dengan penentuan KPK, untuk menentukan faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan a dan b, tentukan dulu faktor-faktor dari a dan b, kemudian identifikasi dan kumpulkan faktor yang sama, selanjutnya pilih yang terbesar.

Faktor persekutuan terbesar dari a dan b ditulis dengan notasi FPB (a, b) atau (a, b).

Contoh :

1) Tentukan FPB (32, 44)

Jawab : Faktor dari 32 adalah 1, 2, 4, 8, 16, 32

Faktor dari 44 adalah 1, 4, 11, 44

Faktor persekutuannya adalah 1, 4.

Karena faktor sekutu yang terbesar adalah 4 maka FPB (32, 44) = 3

2) Tentukan FPB (24, 36, 42)

Jawab : Faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Faktor dari 36 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Faktor dari 42 adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Faktor sekutunya adalah 1, 2, 3

Jadi, FPB (24, 36, 42) = 3

1. Cara Mencari FPB dengan Faktor Prima

Seperti KPK, menentukan FPB dari dua bilangan atau lebih juga dapat dilakukan melalui faktor prima bilangan-bilangan tersebut.untuk menentukan FPB dengan menggunakan faktor prima lebih dahulu bilangan-bilangan yang akan di tentukan FPB nya diuraikan menjadi perkalian faktor primanya.

Penyelesaian :

Langkah pertama, ubah dahulu 18 dan 30 sebagai hasil kali faktor primanya, yaitu: 18=2.3²

30=2.3.5

Langkah kedua, pilih faktor prima yang menjadi faktor persekutuan kedua bilangan tadi, yaitu 18 dan 30, dalam hal ini adalah 2 dan 3.

Langkah ketiga, kalikan semua faktor persekutuan yang terpilih. Dengan demikian, FPB (18,30)= 2.3

Sesuai dengan namanya, yaitu faktor persekutuan terbesar maka calon faktor dari FPB adalah bilangan prima yang merupakan faktor sekutu kedua bilangan yang akan dicari FPB nya.

Contoh :

1) Tentukan FPB (12,35) !

Penyelesaian

12 = 2².3

35 = 5.7

Karena tidak mempunyai faktor prima sekutu maka FPB (12,35) = 1. Dua bilangan yang tidak mempunyai faktor prima sekutu semacam ini disebut prima relatif.

2) Tentukan FPB (9,12)

Penyelasaian

9 = 3²

12 = 2². 3

Calon faktor dari FPB (9,12) adalah 3, sebab 3 merupakan faktor sekutu dari 9 dan 12. Karena tidak ada faktor sekutu yang lain maka FPB (9.12) = 3

3) Tentukan FPB (25, 45) !

Penyelesaian

25 = 5²

45 = 3².5

Faktor prima sekutu dari 25 dan 45 adalah 5, dan tidak ada yang lain. Jadi, FPB dari 25 dan 45 = 5

2. FPB dari Tiga Bilangan

Seperti halnya mencari FPB dari dua bilangan, untuk mencari FPB dari tiga bilangan, nyatakan dahulu masing-masing bilangan dalam perkalian faktor primanya, kemudian pilih faktor prima yang merupakan faktor persekutuan dari ketiga bilangan tadi dan kalikan.

Contoh

1) Tentukan faktor persekutuan terbesar dari 36, 60, dan 96 !

Penyelesaian

36 = 2².3²

60 = 2².3.5

96 = 2⁵.3

Faktor prima persekutuan dari 36,60,96 adalah 2² dan 3.

Jadi, FPB dari 36,60,96 = 2².3 = 12

2) Tentukan FPB dari 16, 28, 40 !

Penyelesaian

16= 2⁴

28 = 2².7

40 = 2³.5

Faktor prima sekutu dari 16,28, dan 40 adalah 2². Jadi, FPB dari 16, 28, 40 = 2²= 4.

3) Tentukan FPB 30, 45, 120 !

Penyelesaian

30 = 2.3.5

45 = 3².5

120 = 2³.3.5

FPB dari 30, 45, 120 = 3.5= 15

3. Hubungan KPK dan FPB

Untuk mencari KPK atau FPB dari dua bilangan jika salah satu dari KPK atau FPB sudah diketahui dapat digunakan rumus sebagai berikut.

KPK (a, b) =

atau FPB (a, b) =

Contoh

1) Tentukan KPK dan FPB dari 16 dan 24 !

Penyelesaian

16 = 2²

24 = 2³. 3

(16, 24) = 2³=8

(16, 24) =

= 48

2) Tentukan FPB dan KPK dari 42 dan 144!

Penyelesaian

42 = 2.3.7

144 = 2⁴.3²

FPB (42, 144) = 2.3 = 6

Dari contoh 2 ini terlihat bahwa pekerjaan akan lebih sulit bila ditentukan KPK-nya dahulu, baru kemudian dicari FPB-nya.

3) Tentukan KPK dan FPB dari 4, 6, dan 8 !

Penyelesaian :

4 = 2²

6 = 2.3

8 = 2³

FPB (4,6,8) = 2

KPK (4,6,8) = 2³.3 = 8.3 =24

Sedangkan

= 96

Kegiatan Belajar 2

Penerapak KPK dan FPB

SOAL CERITA

Konsep abstrak matematika diperoleh dari kenyataan sehari-hari yang kemudian diambil sarinya/esensinya kemudian digeneralisasikan menjadi rumus yang abtrak. Oleh karena itu, konsep abstrak tentang KPK dan FPB dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kehidupan kita sehari-hari. Untuk itu setiap masalah coba pikirkan bagaimana rumusan atau model matematikanya. Selesaikan model matematika yang dipilih, selanjutnya sesuaikan sehingga jawaban soal cerita yang anda kerjakan. Untuk meningkatkan pemahaman dan penalaran anda terhadap kelipatan persekutuan terkecil dan factor persekutuan terbesar, anda dapat mencoba meyelesaikan soal-soal berikut ini.

1. Penerapan KPK

Perhatikan soal berikut.

Panjang lompatan kangguru dalam sekali lompat adalah 45 cm, sedang panjang lompatan kancil dalam sekali lompat 30 cm. jika kangguru dan kancil berlomba lari dengan cara melompat dari titik A, dan mereka bertemu pertama kali pada titik B, berapa jarak A dan B, jika mereka mempunyai kecepatan yang sama?

Jawab :

Penalaran yang diharapkan dari masalah ini adalah, bahwa siswa berfikir setelah masing-masing melompat berapa kali sedingga mereka menempuh jarak yang sama untuk pertama kalinya. Disini yang terpakai adalah konsep kelipatan, sebab sekali lompat catdog mencapai 45 cm, berarti 2 x 45 cm = 90 cm dan seterusnya, demikian pula dengan si kancil.

Jarak-jarak yang dcapai catdog dalam lompatannya adalah 45, 90, 135, 180, …

Jarak-jarak yang dicapai kancil dalam lompatanyya adalah 30, 60, 90, 120, …

Terlihat bahwa kelipatan terkecil dari lompatan-lompatan mereka berdua yang besarnya sama adalah 90.

Dengan pola pikir yang sama kita dapat menyelesaikan soal berikut.

Contoh

1. Zul dan Fahry berenang bersama-sama pada tanggal 3 November 2012. Jika Zul berenang setiap 4 hari sekali Fahry setiap 5 hari sekali. Pada tanggal berapa mereka akan berenang bersama-sama untuk kedua kalinya?

Jawab :

Tentukan KPK 4 dan 5

4 = 2²

5 = 5.1

KPK(4,5)= 2².5= 20

Maka setiap 20 hari sekali Zul dan Fahry akan berenang bersala-sama. Untuk mengetahui pada tangga berapa mereka akan berenang bersama untuk kedua kalinya setelah tanggal 3 November 20112 adalah 3(nov 2012)+20=23 november 2012

Jadi, Zul dan Fahry akan berenang bersama-sama untuk kedua kalinya pada tanggal 23 novemver 2012

2. Adi mempunyai 28 kelereng dan Budi mempunyai 35 kelereng. Jika a kali kelereng Adi sama dengan b kali kelereng Budi, berapakah nilai a + b yang paling kecil?

Jawab :

Kelipatan kelereng Adi adalah 28, 56, 84, 112, 140, 168, …

Kelipatan kelerengBudi adalah 35, 70, 105, 140, 175, …

Terlihat KPK nya adalh 140, ini diperoleh dari 5 kali kelereng Adi dan 4 kali kelereng Budi, hingga a + b = 5 + 4 = 9

Nilai 9 ini nilai a + b yang paling kecil, nilai a + b yang lain adalah 18, 27, …

3. Alif, Bije dan Cici masing-masing secara berurutan mempunyai kelereng 12, 15, dan 20 butir. Mereka sepakat membeli lagi agar masing-masing mempunyai kelereng yang sama banyak. Yang jadi masalah adalah penjual kelereng tidak menjual butiran, melainkan sudah dibungus masing-masing 12, ada yang berisi 15, dan 20 butir.

Agar mereka mempunyai kelereng yang sama banyak maka:

Alif harus membeli …… bungkus yang masing-masing berisi ….. butir

Bije harus membeli …… bungkus yang masing-masing berisi ….. butir

Cici harus membeli …… bungkus yang masing-masing berisi ….. butir

Petunjuk jawaban :

Pikirkan bahwa model matematika masalah ini adalah KPK(12, 15, 20)

Jadi, agar kelereng mereka sama banyak memenuhi ketentuan soal adalah sama-sama mempunyai kelereng 60 butir

2. Penerapan FPB

Demikian juga untuk konsep FPB , cari dulu model matematikanya, kemudian sesuaikan sehingga menjadi jawaban soal yang anda kerjakan.

Untuk meningkatkan pemahaman anda pada masalah yang dikaitkan dengan FPB, Anda perhatikan cara penyelesaian soal-soal berikut.

1. Ainun berkunjung ke mall setiap 30 hari sekali.sedangkan Nur berkunjung ke mall setiap 15 hari sekali.setiap berapa hari sekali Bebi dan Nur pergi ke mall bersama-sama?

Jawab:

Tentukan FPB 30 dan 15

30= 2.3.5 15=3.5

FPB dari 30 dan 15 adalah 2.3.5=30

Jadi, Ainun dan Nur akan pergi ke mall bersama-sama setiap 30 hari sekali.

2. Dani mempunyai 35 permen coklat dan 45 permen strobery.permen tsb akan dimasukan dalam kotak dengan isi yang sama.ada berapa kotak untuk permen tsb?berapa permen coklat dan strobery pada masing-masing kotak?

Jawab:

Tentukan dulu FPB 35 dan 45

35=5.7 45=5.9

FPB (35,45) Adalah 5

Jadi,ada 5 kotak permen yang isinya sama.

Banyaknya permen coklat dalam masing-masing kotak adalah35:5=7 permen coklat

Banyaknya permen strobery dalam masing-masing kotak adalah 45:5= 9 permen strobery

3. Lindri mempunyai 16 jilbab dan 8 bros.lindri ingin membungkus jilbab dan bros tersebut untuk diberikan pada adik-adiknya.Masing-masing bungkusan tersebut berisi sama banyak.Ada berapa bungkus jilbab dan bros tsb?pada masing-masing bungkusan berapa jilbab dan bros yang ada?

Jawab:

Ada 16 jilbab dan 8 bros.

Kita tentukan FPB dari 16 dan 8

16= 2⁴

8=2³

FPB dari 16 dan 8 adalah 2³=8

Jadi,ada 8 bungkus yang isinya sama banyak.

Banyak jilbab dalam masing-masing bungkus adalah 16: 8= 2 jilbab

Banyak bros dalam masing-masing bungkus adalah 8:8=1

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Jadi Kelipatan Persekutuan terKecil (KPK) yaitu mencari semua kelipatan dari a dan b, kemudian diidentifikasi dan dikumpulkan semua kelipatan yang sama selanjutnya dan dikumpulkan semua kelipatan yang sama selanjutnya dari kumpulan itu pilihlah yang sama ambil terbesar, kalau tidak ada yang sama ambil semua. Berikut cara untuk menentukan KPK.

· Menentuka factor prima suatu bilangan

Menentukan kelipatan persekutuan juga dapat dilakukan dengan menentukan factor prima dari bilangan yang ditentukan.

· Cara mencari KPK dengan menggunakan factor prima

a. Jika x merupakan faktor prima yang hanya terdapat pada a saja atau b saja maka x merupakan calon faktor dari KPK (a , b)

b. Jika y merupakan faktor prima dari a dan b maka y merupakan calon faktor dari KPK (a, b).

c. Jika z merupakan faktor dari a, dan z merupakan faktor dari b dengan a > b maka z merupakan calon faktor dari KPK (a, b).

Sedangkan Faktor Persekutuan terBesar (FPB), untuk menentukan factor persekutuan terbesar dari dua bilangan a dan b. tentukan dulu factor-faktor dari a dan b, kemudian identifikasi dan kumpulkan factor yang sama ambil yang pangkatnya terkecil dan yang berbeda tidak diambil. Cara mancari FPB dengan faktor prima dengan menggunakan faktor prima lebih dahulu bilangan-bilangan yang akan ditentukan FPB nya diuraikan menjadi perkalian faktor prima nya. Hubungan KPK dan FPB untuk mencari KPK atau FPB dari dua bilangan jika salah satu dari KPK atau FPB sudah diketahui dapat di gunakan rumus sebagai berikut.